Решение системы линейных уравнений матричным методом
Еще один, пользующийся большой популярностью метод. Этот способ или, как его еще называеют, метод обратной матрицы называется так потому, что все решение сводится к простому матричному уравнению, для решения которого необходимо найти обратную матрицу. Для того, что бы расставить все точки над и, рассмотрим метод под микроскопом.
Алгоритм решения достаточно просто. Как и в методах Гаусса и Крамера первоначально надо проверить, имеет ли система уравнений решение по теореме Кронекера-Копелли. Затем для решения матричным методом необходимо ввести в рассмотрение матрицы-столбцы для неизвестных X и свободных членов B. Тогда систему линейных уравнений можно записать в матричной форме AX=B. Умножив это матричное уравнение на A-1, получим A-1AX= A-1B, откуда EX=X=A-1B. Следовательно, матрица-решение X легко находится как произведение A-1 и B.
Для большей ясности решим небольшой пример методом обратной матрицы:
21x1-45x2-3.5x3=10
12x1-16x2+21x3=-16
14x1+13x2-8x3=10
Определим совместность системы уравнений. По теореме Кронекера-Копелли для того, что бы система линейных алгебраических уравнений была совместна (имела решение), необходимо и достаточно, что бы ранг основной матрицы
| A= |
|
и ранг расширенной матрицы
| B= |
|
были равны.
Так как rang|A|=3 равен rang|B|=3 и равен количеству неизвестных n=3, то система имеет единственное решение.
Для решения методом обратной матрицы необходимо ввести матричные обозначения
| A= |
| X= |
| C= |
| , то X=A-1C |
Найдем обратную матрицу A-1. Как ее найти, показывать не будем. Воспользовавшись нашии онлайн калькулятором, вы сможете выбрать один из двух способов для ее нахождения. Она будет иметь вид.
| A-1= |
|
Для нахождения матрицы X умножим обратную матрицу А-1 на матрицу С
|
| = |
|
Получили решение системы уравнений
X1=0.227
X2=-0.209
X3=-1.194
Решение онлайн
Для ввода исходных данных необходимо указать количество уравнений:
ДОБАВИТЬ КОММЕНТАРИЙ