Решение кубического уравнения

Кубическое уравнение или уравнение третьей степени может заставить вас попотеть, особенно, если вы не знаете алгоритма решения. Иногда в таком уравнении можно выделить какую-нибудь часть, что-то вынести за скобки, потом сделать замену переменных, и решить как квадратное. Но такие манипуляции можно проделать в редких случаях, поэтому, чаще всего кубическое уравнение решают по формулам Виета-Кардано. Этот метод подходить для любых уравнений такого типа.

Для примера решим уравнение x3-9x2-46x+120=0

Исходное уравнение имеет вид:

1x3-9x2-46x+120=0

Для решения данного уравнения произведем замену переменной

 

x=y- B
3·A

Каноническое уравнение будет иметь вид:

y+p·y+q=0, где

 

p= 3·A·C-B2 = 3·1·(-46)-(-9)2 =-73
3·A2 3·(1)2

 

q= 2·B2-9·A·B·C+27·A2·D = 2·(-9)2-9·(1)·(-9)·(-46)+27·12·(120) =-72
27·A3 27·(1)3

 

Дискриминант найдем по формуле:

 

D= q2 + p3 = -722   -733 =-13112.04
4 27 4 27

 

Так как D<0, то существует три различных действительных корня. Найдем F при D<0 по формуле:

 

F=arctg    -
q2
+ p3  
4
27  
    -q  
    2  

или

F=arctg    -
-722
+ -733   =1.27
4
27  
    -(-72)    
    2  

 

Найдем корни по формулам:

 

y1=2·    -p ·cos
 
F
 
=2·    -(-73) cos
 
1.27
 
=9
3
 
3
 
3
 
3
 

 

y2=2·    -p ·cos
 
F   +  2·π
 
=2·    -(-73) cos
 
1.27 + 2·π
 
=-8
3
 
3 3
 
3
 
3 3
 

 

y3=2·    -p ·cos
 
F   +  4·π
 
=2·    -(-73) cos
 
1.27 + 4·π
 
=-1
3
 
3 3
 
3
 
3 3
 

 

Подставим полученные значения и найдем x1, x3, x3

x1=y1- B =y1- -9 =12
3·A 3·(1)

 

x2=y2- B =y2- -9 =-5
3·A 3·(1)

 

x3=y3- B =y3- -9 =2
3·A 3·(1)

На нашем сайте вы также можете:

Решение онлайн

Введите коэффициенты для кубического уравнения уравнения:

x3+ x2+x+ = 0

Решение:

ДОБАВИТЬ КОММЕНТАРИЙ