Производящая функция

Рассмотрим испытания, в которых вероятности появления события различны. Пусть производится n независимых испытаний, причем в первом испытании вероятность появления события А равна р1, во втором — р2, ..., в n-м испытании — рn; вероятности непоявления события А соответственно равны q1, q2, ..., qn; Pn(k) — вероятность появления события A в n испытаниях ровно k раз.

Производящей функцией вероятностей Pn(k) называют функцию, определяемую равенством

φn(z) = (p1z + q1)(p2z + q2)...(pnz + qn)

Вероятность P(k) того, что в n независимых испытаниях, в первом из которых вероятность появления события А равна р1 во втором р2 и т. д., событие A появится ровно k раз, равна коэффициенту при zk в разложении производящей функции по степеням z. Например, если n =2, то

φ2(z) = (p1z + q1)(p2z + q2)=p1p2z2+(p1q2 + p2q1)z+q1q2 .

Здесь коэффициент p1p2 при z2 равен вероятности Р2(2) того, что событие А появится ровно два раза в двух испытаниях; коэффициент p1q2 + p2q1 при z1 равен вероятности Р2(1) того, что событие А появится ровно один раз; коэффициент при z0, т. е. свободный член q1q2 равен вероятности Р2(0) того, что событие А не появится ни одного раза.

Заметим, что если в различных испытаниях появляются различные события (в первом испытании событие А1 во втором — событие А2 и т. д.), то изменяется лишь истолкование коэффициентов при различных степенях z. Например, в приведенном выше разложении коэффициент р1p2 определяет вероятность появления двух событий А1 и А2.

ДОБАВИТЬ КОММЕНТАРИЙ