При классическом определении вероятность события определяется равенством
Р (А) = m/n,
где m — число элементарных исходов испытания, благоприятствующих появлению события А; n—общее число возможных элементарных исходов испытания. Предполагается, что элементарные исходы образуют полную группу и равновозможны.

Относительная частота события А определяется равенством W(A) = m/n, где m—число испытаний, в которых событие А наступило; n—общее число произведенных испытаний. Прн статистическом определении в качестве вероятности события принимают его относительную частоту.

1. Брошены две игральные кости. Найти вероятность того, что сумма очков на выпавших гранях — четная, причем на грани хотя бы одной из костей появится шестерка.

Решение. На выпавшей грани «первой» игральной кости может появиться одно очко, два очка, .... шесть очков. Аналогичные шесть элементарных исходов возможны при бросании «второй» кости. Каждый из исходов бросания «первой» кости может сочетаться с каждым из исходов бросания «второй». Таким образом, обшее число возможных элементарных исходов испытания равно 6-6 = 36. Эти исходы образуют полную группу и в силу симметрии костей равновозможны. Благоприятствующими интересующему нас событию (хотя бы на одной грани появится шестерка, сумма выпавших очков—четная) являются следующие пять исходов (первым записано число очков, выпавших на «первой» кости, вторым—число очков, выпавших на «второй» кости; далее найдена сумма очков): 1) 6, 2; 6+2 = 8, 2) 6. 4; 6 + 4=10, 3) 6, 6; 6-f-6= 12, 4)2,6; 2 + 6 = 8, 5) 4, 6; 4 + 6=10. Искомая вероятность равна отношению числа исходов, благоприятствующих событию, к числу всех возможных элементарных исходов: Р 5/36.

2. При перевозке ящика, в котором содержались 21 стандартная н 10 нестандартных деталей, утеряна одна деталь, причем неизвестно какая. Наудачу извлеченная (после перевозки) нз ящика деталь оказалась стандартной. Найти вероятность того, что была утеряна: а) стандартная деталь; б) нестандартная деталь.

Решение

а) Извлеченная стандартная деталь, очевидно, не могла быть утеряна; могла быть потеряна любая из остальных 30 деталей (21 + 10 - 1=30), причем среди них было 20 стандартных (21 - 1=20). Вероятность того, что была потеряна стандартная деталь, Р =20/30 = 2/3.

б) Среди 30 деталей, каждая из которых могла быть утеряна, было 10 нестандартных. Вероятность того, что потеряна нестандартная деталь, Р = 10/30= 1/3.

3. Задумано двузначное число. Найти вероятность того, что задуманным числом окажется: а) случайно названное двузначное число; б) случайно названное двузначное число, цифры которого различны.

4. Указать ошибку «решения» задачи: брошены две игральные кости; найти вероятность того, что сумма выпавших очков равна 3 (событие А).

Решение. Возможны два исхода испытания: сумма выпавших очков равна 3, сумма выпавших очков не равна 3. Событию А благоприятствует один исход; общее число исходов равно двум. Следовательно, искомая вероятность Р(A)=1/2. Ошибка этого «решения» состоит в том, что рассматриваемые исходы не являются равновозможными. Правильное решение. Общее число равновозможных исходов равно 6*6=36 (каждое число очков, выпавших на одной кости, может сочетаться со всеми числами очков, выпавших на другой кости). Среди этих исходов благоприятствуют событию А только два исхода (в скобках указаны числа выпавших очков): (1; 2) и (2; 1). Следовательно, искомая вероятность Р (А) = 2/36= 1/18.