Наивероятнейшее число появлений события в независимых испытаниях

Число k₀ (наступления события в независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна р) называют наивероятнейшим, если вероятность того, что событие наступит в этих испытаниях k₀ раз, превышает (или, по крайней мере, не меньше) вероятности остальных возможных исходов испытаний.

Наивероятнейшее число k₀ определяют из двойного неравенства

np-q≤k₀≤np+p,

причем:

а) если число nр-q — дробное, то существует одно наивероят нейшее чиcло k₀;

б) если число nр-q — целое, то существует два наивероятнейших числа, а именно: k₀ и k₀+1;

в) если число nр—целое, то наивероятнейшее число k₀ = nр.

Пример. Испытывается каждый из 15 элементов некоторого устройства. Вероятность того, что элемент выдержит испытание, равна 0,9. Найти наивероятнейшее число элементов, которые выдержат испытание.

Решение. По условию, n= 15, р = 0,9, q=0,1. Найдем наивероятнейшее число k₀ из двойного неравенства

np-q≤k₀≤np+p.

Подставив данные задачи, получим

15*0,9-0,1 ≤k₀< 15*0,9+0,9, или 13,5≤k₀< 14,4.

Так как k₀ — целое число и поскольку между числами 13,4 и 14,4 заключено одно целое число, а именно 14, то искомое наивероятнейшее число k₀ = 14.