Комплексные числа

Система комлпексных чисел

Существует несколько приемов введения комплексных чисел. Здесь предлагается классическая схема, объясняющая необходимость построения новой числовой системы.

Очевидно, что далеко не каждое линейное уравнение с натуральными коэффициентами имеет целое неотрицательное решение. С введением целых отрицательных чисел область решения таких уравнений была явно расширена. Решение любого уравнения первого порядка с целыми коэффициентами стало возможно лишь с появлением рациональных чисел. Исследование простейшего квадратного уравнения х2 - 2 = О привело в конечном итоге к появлению полной системы действительных чисел. В настоящее время не все уравнения второй степени с действительными коэффициентами решаются в школьном курсе математики. Если дискриминант уравнения отрицательный, то по школьным учебникам такое уравнение решений не имеет. Самым простым среди квадратных уравнений, не имеющих действительных корней, является уравнение

х2 + 1=0 (1.1)

Поставим перед собой следующую задачу: построить новую систему чисел, которая, во-первых, содержала бы корень уравнения (1.1) и, во-вторых, являлась бы алгебраическим расширением системы действительных чисел.

Второе условие в этой задаче означает, что новая система чисел должна содержать все действительные числа как подмножество и все числовые операции для новой системы, если они применяются к действительным числам, должны совпадать с известными операциями над действительными числами.

Множество всех действительных чисел обозначим буквой R, а буквой K элемнты новой числовой системы, которые являются множеством всех точек плоскости. Возьмем декартову систему координат на плоскости (рисунок 1.1) Будем считать, что по оси абсцисс располагаются действительные числа и при этом начало координат совпадает с числом 0. Каждая точка плоскости теперь однозначно определяется своими координатами, т. е. парой действительных чисел.

комлексные числа. Система координат

Далее в этой главе будем точки плоскости обозначать малыми латинскими буквами (иногда с индексами), а их координаты — малыми греческими буквами (также иногда с индексами). Таким образом,

K=((α,β)|α,β∈R).

Новая числовая система будет полностью построена, когда будут определены все основные операции для ее элементов, и, строго говоря, только после этого элементы К можно называть числами. Понимая это, до окончательного построения числовой системы формально назовем точки плоскости, а значит, все элементы К, комплексными числами. Очевидно, что два комплексных числа равны тогда и только тогда, когда равны их соответствующие координаты.

Очевидно, что каждое действительное число а как точка плоскости имеет координаты (α, 0). Таким образом, R ⊂ К.

Определим арифметические операции над комплексными числами в соответствии со вторым условием задачи. При этом воспользуемся тем, что каждое комплексное число — это упорядоченная пара действительных чисел, и определение всех арифметических операций над комплексными числами сведем к известным арифметическим операциям над действительными числами. Все арифметические операции над комплексными числами будем называть привычными терминами, обозначать привычными знаками, но при этом будем понимать, что они применяются к числовым парам, т.е. точкам плоскости, координаты которых являются действительными числами.

Сумма комплексных чисел

Пусть даны два комплексных числа a = (α,β), b = (γ,δ) Под суммой a + b будем понимать такое комплексное число с, координаты которого находятся по следующему правилу:

с=(α + γ,β + δ) (1.2)

Убедимся, что выполняются все известные свойства операции сложения. Коммутативность сложения:

а + b = (α + γ,β + δ) = (γ+ α, δ + β) = b + а

Следовательно, для любых а,b∈K выполняется условие

a + b = b + a (1.3)

Ассоциативность сложения. Если с=(ς,η), то

(а + b) + с = ((α + γ) + ς(β + δ) + η) = (α + (γ + ς),β + (δ + η)) = а + (b + с)

В конечном итоге имеем

(а + b) +с = а + (b + с) (1.4)

для всех a,b,c∈K.

Существование нейтрального по сложению числа. В качестве нейтрального по сложению числа возьмем точку

о =(0,0) (1.5)

Действительно, а + о = (α + 0,β + 0) = (α,β) = а. Других нейтральных по сложению чисел в К нет. Действительно, если о1 — другое нейтральное число, то о = о + 1 = o1 + о = o1.

Существование противоположного числа. Число b называется противоположным для а, если а + b = 0. Следовательно, для а = (α,β) противоположным является число

b=(-α,-β) (1.6)

Если с — другое противоположное для а число, то

b = b + 0 = b + (а + с) = (b + а) + с = о + с = с.

Следовательно, для каждого числа a∈K имеется единственное противоположное, которое будем обозначать -а. Заметим, что если а ≠ о, то а ≠ -а.

Разность комплексных чисел

Под разностью а - b будем понимать комплексное число, которое получается следующим образом:

a-b = a+(-b) (1.7)

Так как для каждого комплексного числа b существует единственное противоположное число -b, то операция вычитания определена однозначно.

Произведение комплексных чисел

Пусть a = (α,β), b = (γ,δ)- Под произведением ab двух комплексных чисел а и b будем понимать такую точку с, координаты которой находятся по следующему правилу:

аb = (α,β)(γ,δ) = (αγ - βδ, αδ + βγ) (1.8)

Как и сложение, умножение комплексных чисел имеет те же свойства, что и произведение действительных чисел.

Коммутативность умножения:

аb = (α,β)(γ,δ) = (αγ - βδ, αδ + βγ)=(γα - δβ,γβ-δα) = ba

Таким образом,

аb = bа (1.9)

для всех а,b∈К.

Ассоциативность умножения. Пусть с= (ς,η). Тогда

Ассоциативность умножения комплексных чисел

Следовательно, при любых a,b,c∈К справедливо равенство

(ab)c = a(bc) (1.10)

Существование нейтрального по умножению числа. Таким числом является

е = (1,0) (1.11)

Действительно, ае = (α,β)(1,0) = (а · 1 - β · 0, α · 0 + β · 1) = (α, β) = а.

Если е1 - другое нейтральное по умножению число, то

е = ее1 = е1е = е1

Таким образом, е является единственным нейтральным по умножению комплексным числом.

Существование обратного числа. Число b называется обратным для а, если аb = е. Если а = (α,β), ab = (x,у), то

(α,β)(x,у) = (αх - βу,αу + βх) = (1,0)

Приравнивая соответствующие координаты, получаем

система уравнений

Умножая первое уравнение на α, второе — на β и складывая, получим (α2 + β2)х = а

Это уравнение имеет единственное решение тогда и только тогда, когда α2 + β2 ≠ О, т. е. когда а &ne о = (0,0). При выполнении этого условия

Подставляя найденное значение х во второе уравнение системы, нахо- дим значение у:

Число, обратное для а, будем обозначать а-1. Таким образом, для лю- бого комплексного числа а≠o координатами o = (α,β) справедливо

(1.13)

Убедимся, что выполняется свойство дистрибутивности. Пусть

а = (α,β), b = (γ,δ), с =(ς,η). Тогда

Следовательно, для любых комплексных чисел а, b, с справедливо равенство

а(b + с) =аb + ас (1.14)

Так как умножение комплексных чисел коммутативно, то, очевидно, выполняется и следующее равенство

(a + b)c = ac + bc (1.15)

Деление комплексных чисел

Операцию деления комплексных чисел зададим как обратную к умножению.

Число с = (х,у) будем называть частным от деления числа a = (α,β) на число b = (γ,δ), если a = bх.

Отсюда

(α,β) = (γ,δ)(х,у) = (γx - δу, γy + δх).

Составим систему уравнений:

Умножим первое уравнение на γ, второе - на δ и сложим. В результате получим

2 + δ2)х = αγ + βδ (1.17)

Уравнение (1.17) имеет единственное решение тогда и только тогда, когда γ2 + δ2 ≠ 0. Следовательно, если b ≠ о = (0,0), то из (1.17)

Теперь исключим x из системы (1.16). Для этого первое уравнение умножим на -δ, второе — на γ и сложим. Получим

2 + δ2)у = βγ - αδ (1.18)

Как и выше, если b ≠ о = (0,0), то уравнение (1.18) имеет единственное решение

В итоге получаем: если b ≠ о = (0,0), то

(1.19)

Нетрудно проверить, что

Итак, на К определены основные арифметические операции и, следовательно, завершено построение системы комплексных чисел.

Проверим действие новых операций на множестве R действительных чисел. Пусть а, b ∈ R. Так как R ⊂ К, то а, b ∈ К. Выше уже отмечалось, что каждое действительное число - это соответствующая точка на оси абсцисс в выбранной системе координат. Поэтому а и b как комплексные числа записываются следующим образом: а = (а,0), b= (b,0). Применим к а и b те арифметические операции, которые были определены на К. Из (1.2), (1.7), (1.8) и (1.19) получаем

Таким образом, применение операций на К к точкам оси абсцисс дает те же результаты, что и соответствующие операции на R. Следовательно, К есть алгебраическое расширение множества действительных чисел R. Это дает нам возможность не различать действительное число а и точку (а, 0) ∈ К, что в конечном итоге позволит перейти к другой, более удобной форме записи комплексных чисел.

Теперь осталось выяснить, содержит ли К корень уравнения (1.1). Обозначим через i комплексное число (0, 1). Тогда

i2 = (0, 1)(0, 1) = (-1,0).

Выше было условлено не отличать действительное число -1 от комплексного числа (-1,0), поэтому

i2 = -1. (1.20)

Очевидно, что число i является корнем уравнения (1.1) и поставленная в начале этого параграфа задача решена полностью.

Далее перейдем к другой, более удобной форме записи комплексных чисел. Пусть (α,β) — произвольное комплексное число. Очевидно,

(α,β) = (α, 0)+(0,β).

Но (0,β) = (0,1)+(β,0). Учитывая, что (α, 0) = α, (β,0) = β и (0, 1) = i, окончательно получаем

(α,β) =α + iβ = α + βi (1.21)

Если комплексное число записано в виде а = α + iβ либо а = α + βi, то любую из этих форм записи комплексного числа будем называть алгебраической. По сложившейся терминологии число i называется мнимой единицей, α называется действительной, а iβ — мнимой частями комплексного числа. Плоскость, точки которой использованы для построения множества комплексных чисел, называют комплексной плоскостью; оси абсцисс и ординат в выбранной системе координат называют соответственно действительной и мнимой осями.

Теперь приведем правила, по которым выполняются все введенные нами арифметические операции, если комплексные числа записываются в алгебраической форме (1.21). Используя (1.2), (1.7), (1.8) и (1.19), легко убедиться в справедливости следующих равенств:

В последнем равенстве предполагается, что γ + iδ≠ 0 + i0.

Нет никакой необходимости запоминать все эти формулы. В первых двух надо лишь раскрыть скобки и привести подобные относительно действительных и мнимых частей. При умножении двух комплексных чисел, записанных в алгебраической форме, следует формально перемножить слагаемые, содержащиеся в каждой скобке (как двухчлен на двухчлен), учитывая, что i2 = -1, а затем выделить действительную и мнимую части полученной суммы.

Выполнение операции деления также легко формализуется, если предварительно числитель и знаменатель дроби умножить на комплексное число, отличающееся от знаменателя лишь знаком при мнимой части.

Действительно,

Следует заметить, что операции сложения и вычитания комплексных чисел, записанных в алгебраической форме, хорошо интерпретируются на комплексной плоскости. Действительно, если а = α + iβ и b = γ + iδ, то радиусы-векторы точек а и b имеют координаты (α,β) и (γ&delta) соответственно. Но тогда, сравнивая формулу сложения ком плексных чисел и правило сложения векторов в координатной форме, получаем, что точка а + b совпадает с концом вектора, который является суммой вышеуказанных радиусов-векторов. Таким образом, при сложении комплексных чисел можно применять "правило параллелограмма". Аналогично интерпретируется операция вычитания (см. рис. 1.2).

Примеры.

ДОБАВИТЬ КОММЕНТАРИЙ