Комплексные числа
Система комлпексных чисел
Существует несколько приемов введения комплексных чисел. Здесь предлагается классическая схема, объясняющая необходимость построения новой числовой системы.
Очевидно, что далеко не каждое линейное уравнение с натуральными коэффициентами имеет целое неотрицательное решение. С введением целых отрицательных чисел область решения таких уравнений была явно расширена. Решение любого уравнения первого порядка с целыми коэффициентами стало возможно лишь с появлением рациональных чисел. Исследование простейшего квадратного уравнения х2 - 2 = О привело в конечном итоге к появлению полной системы действительных чисел. В настоящее время не все уравнения второй степени с действительными коэффициентами решаются в школьном курсе математики. Если дискриминант уравнения отрицательный, то по школьным учебникам такое уравнение решений не имеет. Самым простым среди квадратных уравнений, не имеющих действительных корней, является уравнение
х2 + 1=0 (1.1)
Поставим перед собой следующую задачу: построить новую систему чисел, которая, во-первых, содержала бы корень уравнения (1.1) и, во-вторых, являлась бы алгебраическим расширением системы действительных чисел.
Второе условие в этой задаче означает, что новая система чисел должна содержать все действительные числа как подмножество и все числовые операции для новой системы, если они применяются к действительным числам, должны совпадать с известными операциями над действительными числами.
Множество всех действительных чисел обозначим буквой R, а буквой K элемнты новой числовой системы, которые являются множеством всех точек плоскости. Возьмем декартову систему координат на плоскости (рисунок 1.1) Будем считать, что по оси абсцисс располагаются действительные числа и при этом начало координат совпадает с числом 0. Каждая точка плоскости теперь однозначно определяется своими координатами, т. е. парой действительных чисел.
Далее в этой главе будем точки плоскости обозначать малыми латинскими буквами (иногда с индексами), а их координаты — малыми греческими буквами (также иногда с индексами). Таким образом,
K=((α,β)|α,β∈R).
Новая числовая система будет полностью построена, когда будут определены все основные операции для ее элементов, и, строго говоря, только после этого элементы К можно называть числами. Понимая это, до окончательного построения числовой системы формально назовем точки плоскости, а значит, все элементы К, комплексными числами. Очевидно, что два комплексных числа равны тогда и только тогда, когда равны их соответствующие координаты.
Очевидно, что каждое действительное число а как точка плоскости имеет координаты (α, 0). Таким образом, R ⊂ К.
Определим арифметические операции над комплексными числами в соответствии со вторым условием задачи. При этом воспользуемся тем, что каждое комплексное число — это упорядоченная пара действительных чисел, и определение всех арифметических операций над комплексными числами сведем к известным арифметическим операциям над действительными числами. Все арифметические операции над комплексными числами будем называть привычными терминами, обозначать привычными знаками, но при этом будем понимать, что они применяются к числовым парам, т.е. точкам плоскости, координаты которых являются действительными числами.
Сумма комплексных чисел
Пусть даны два комплексных числа a = (α,β), b = (γ,δ) Под суммой a + b будем понимать такое комплексное число с, координаты которого находятся по следующему правилу:
с=(α + γ,β + δ) (1.2)
Убедимся, что выполняются все известные свойства операции сложения. Коммутативность сложения:
а + b = (α + γ,β + δ) = (γ+ α, δ + β) = b + а
Следовательно, для любых а,b∈K выполняется условие
a + b = b + a (1.3)
Ассоциативность сложения. Если с=(ς,η), то
(а + b) + с = ((α + γ) + ς(β + δ) + η) = (α + (γ + ς),β + (δ + η)) = а + (b + с)
В конечном итоге имеем
(а + b) +с = а + (b + с) (1.4)
для всех a,b,c∈K.
Существование нейтрального по сложению числа. В качестве нейтрального по сложению числа возьмем точку
о =(0,0) (1.5)
Действительно, а + о = (α + 0,β + 0) = (α,β) = а. Других нейтральных по сложению чисел в К нет. Действительно, если о1 — другое нейтральное число, то о = о + 1 = o1 + о = o1.
Существование противоположного числа. Число b называется противоположным для а, если а + b = 0. Следовательно, для а = (α,β) противоположным является число
b=(-α,-β) (1.6)
Если с — другое противоположное для а число, то
b = b + 0 = b + (а + с) = (b + а) + с = о + с = с.
Разность комплексных чисел
Под разностью а - b будем понимать комплексное число, которое получается следующим образом:
a-b = a+(-b) (1.7)
Так как для каждого комплексного числа b существует единственное противоположное число -b, то операция вычитания определена однозначно.
Произведение комплексных чисел
Пусть a = (α,β), b = (γ,δ)- Под произведением ab двух комплексных чисел а и b будем понимать такую точку с, координаты которой находятся по следующему правилу:
аb = (α,β)(γ,δ) = (αγ - βδ, αδ + βγ) (1.8)
Как и сложение, умножение комплексных чисел имеет те же свойства, что и произведение действительных чисел.
Коммутативность умножения:
аb = (α,β)(γ,δ) = (αγ - βδ, αδ + βγ)=(γα - δβ,γβ-δα) = ba
Таким образом,
аb = bа (1.9)
для всех а,b∈К.
Ассоциативность умножения. Пусть с= (ς,η). Тогда
Следовательно, при любых a,b,c∈К справедливо равенство
(ab)c = a(bc) (1.10)
Существование нейтрального по умножению числа. Таким числом является
е = (1,0) (1.11)
Действительно, ае = (α,β)(1,0) = (а · 1 - β · 0, α · 0 + β · 1) = (α, β) = а.
Если е1 - другое нейтральное по умножению число, то
е = ее1 = е1е = е1
Таким образом, е является единственным нейтральным по умножению комплексным числом.
Существование обратного числа. Число b называется обратным для а, если аb = е. Если а = (α,β), ab = (x,у), то
(α,β)(x,у) = (αх - βу,αу + βх) = (1,0)
Приравнивая соответствующие координаты, получаем
Умножая первое уравнение на α, второе — на β и складывая, получим (α2 + β2)х = а
Это уравнение имеет единственное решение тогда и только тогда, когда α2 + β2 ≠ О, т. е. когда а &ne о = (0,0). При выполнении этого условия
Подставляя найденное значение х во второе уравнение системы, нахо- дим значение у:
Число, обратное для а, будем обозначать а-1. Таким образом, для лю- бого комплексного числа а≠o координатами o = (α,β) справедливо
(1.13)
Убедимся, что выполняется свойство дистрибутивности. Пусть
а = (α,β), b = (γ,δ), с =(ς,η). Тогда
Следовательно, для любых комплексных чисел а, b, с справедливо равенство
а(b + с) =аb + ас (1.14)
Так как умножение комплексных чисел коммутативно, то, очевидно, выполняется и следующее равенство
(a + b)c = ac + bc (1.15)
Деление комплексных чисел
Операцию деления комплексных чисел зададим как обратную к умножению.
Число с = (х,у) будем называть частным от деления числа a = (α,β) на число b = (γ,δ), если a = bх.
Отсюда
(α,β) = (γ,δ)(х,у) = (γx - δу, γy + δх).
Составим систему уравнений:
Умножим первое уравнение на γ, второе - на δ и сложим. В результате получим
(γ2 + δ2)х = αγ + βδ (1.17)
Уравнение (1.17) имеет единственное решение тогда и только тогда, когда γ2 + δ2 ≠ 0. Следовательно, если b ≠ о = (0,0), то из (1.17)
Теперь исключим x из системы (1.16). Для этого первое уравнение умножим на -δ, второе — на γ и сложим. Получим
(γ2 + δ2)у = βγ - αδ (1.18)
Как и выше, если b ≠ о = (0,0), то уравнение (1.18) имеет единственное решение
В итоге получаем: если b ≠ о = (0,0), то
(1.19)
Нетрудно проверить, что
Итак, на К определены основные арифметические операции и, следовательно, завершено построение системы комплексных чисел.
Проверим действие новых операций на множестве R действительных чисел. Пусть а, b ∈ R. Так как R ⊂ К, то а, b ∈ К. Выше уже отмечалось, что каждое действительное число - это соответствующая точка на оси абсцисс в выбранной системе координат. Поэтому а и b как комплексные числа записываются следующим образом: а = (а,0), b= (b,0). Применим к а и b те арифметические операции, которые были определены на К. Из (1.2), (1.7), (1.8) и (1.19) получаем
Таким образом, применение операций на К к точкам оси абсцисс дает те же результаты, что и соответствующие операции на R. Следовательно, К есть алгебраическое расширение множества действительных чисел R. Это дает нам возможность не различать действительное число а и точку (а, 0) ∈ К, что в конечном итоге позволит перейти к другой, более удобной форме записи комплексных чисел.
Теперь осталось выяснить, содержит ли К корень уравнения (1.1). Обозначим через i комплексное число (0, 1). Тогда
i2 = (0, 1)(0, 1) = (-1,0).
Выше было условлено не отличать действительное число -1 от комплексного числа (-1,0), поэтому
i2 = -1. (1.20)
Очевидно, что число i является корнем уравнения (1.1) и поставленная в начале этого параграфа задача решена полностью.
Далее перейдем к другой, более удобной форме записи комплексных чисел. Пусть (α,β) — произвольное комплексное число. Очевидно,
(α,β) = (α, 0)+(0,β).
Но (0,β) = (0,1)+(β,0). Учитывая, что (α, 0) = α, (β,0) = β и (0, 1) = i, окончательно получаем
(α,β) =α + iβ = α + βi (1.21)
Если комплексное число записано в виде а = α + iβ либо а = α + βi, то любую из этих форм записи комплексного числа будем называть алгебраической. По сложившейся терминологии число i называется мнимой единицей, α называется действительной, а iβ — мнимой частями комплексного числа. Плоскость, точки которой использованы для построения множества комплексных чисел, называют комплексной плоскостью; оси абсцисс и ординат в выбранной системе координат называют соответственно действительной и мнимой осями.
Теперь приведем правила, по которым выполняются все введенные нами арифметические операции, если комплексные числа записываются в алгебраической форме (1.21). Используя (1.2), (1.7), (1.8) и (1.19), легко убедиться в справедливости следующих равенств:
В последнем равенстве предполагается, что γ + iδ≠ 0 + i0.
Нет никакой необходимости запоминать все эти формулы. В первых двух надо лишь раскрыть скобки и привести подобные относительно действительных и мнимых частей. При умножении двух комплексных чисел, записанных в алгебраической форме, следует формально перемножить слагаемые, содержащиеся в каждой скобке (как двухчлен на двухчлен), учитывая, что i2 = -1, а затем выделить действительную и мнимую части полученной суммы.
Выполнение операции деления также легко формализуется, если предварительно числитель и знаменатель дроби умножить на комплексное число, отличающееся от знаменателя лишь знаком при мнимой части.
Действительно,
Следует заметить, что операции сложения и вычитания комплексных чисел, записанных в алгебраической форме, хорошо интерпретируются на комплексной плоскости. Действительно, если а = α + iβ и b = γ + iδ, то радиусы-векторы точек а и b имеют координаты (α,β) и (γ&delta) соответственно. Но тогда, сравнивая формулу сложения ком плексных чисел и правило сложения векторов в координатной форме, получаем, что точка а + b совпадает с концом вектора, который является суммой вышеуказанных радиусов-векторов. Таким образом, при сложении комплексных чисел можно применять "правило параллелограмма". Аналогично интерпретируется операция вычитания (см. рис. 1.2).
ДОБАВИТЬ КОММЕНТАРИЙ