Тригонометрическая форма записи комплексных чисел. Сопряженные числа

Суть тригонометрической записи заключается в следующем.

Пусть а = α + iβ - произвольное комплексное число. Соединим начало координат с точкой А(α,β) и длину полученного отрезка обо- значим r. Далее угол между положительным направлением оси абсцисс и направлением из начала координат на эту точку обозначим φ (см. рис. 1.1).

Из прямоугольного треугольника ОАВ имеем

α² + β² = r², α = r cosφ, β = r sin φ (1.1)

При этом, очевидно,

Подставляя α и β из (1.1) в формулу а = α + iβ получаем тригонометрическую форму записи комплексного числа а:

а = r (cosφ + i sinφ). (1.2)

Определение 1. Число r называется модулем, а угол φ — аргументом комплексного числа а.

Для модуля и аргумента имеют место следующие обозначения:

r = |а|, φ = arga.

Аргумент числа а считается положительным, если угол отсчитывается против часовой стрелки, и отрицательным — в противном случае. При этом любой из углов φ + 2кπ, где к -целое, также считается аргументом числа а. Аргумент не определен лишь для числа О, но это число вполне определяется равенством |0| =0.

Заметим, что если заданы модуль r₀ и аргумент φ₀, то существует лишь одно комплексное число а₀ с такими параметрами. Действительно, на комплексной плоскости все числа с аргументом φ₀ расположены на полупрямой, которая выходит из начала координат и образует с положительным направлением оси абсцисс угол φ₀. Очевидно, на этой полупрямой только одна точка a₀ расположена на расстоянии r₀ от начала координат. С другой стороны, предположим, что отличное от нуля комплексное число а = α + βi может иметь две тригонометрические формы записи:

а = r₁(cosφ₁ + iφ₁) и а = r₂(cosφ₂ + iφ₂).

Тогда а = r₁cosφ₁ = а = r₂cosφ₂ и β = r₁sinφ₁ = а = r₂sinφ₂ Отсюда

и, следовательно, cosφ₁ =cosφ₂, sinφ₁ = sinφ₂. Поэтому

r₁ = r₂ = |a| и φ₁ = φ₂ + 2kπ

при целом k, т.е. φ₁ = arga и φ₂ = arga. Таким образом, любое отличное от нуля комплексное число однозначно записывается в тригонометрической форме, причем аргумент определяется с точностью до слагаемых, кратных 2π.

Если комплексные числа записаны в тригонометрической форме, то операции умножения и деления выполняются проще и легко интерпретируются. Действительно, пусть числа а и b записаны в тригонометрической форме:

a = r(cosφ + isimφ), b = R(cosψ + isinψ).

Перемножим их:

Окончательно:

ab = rR[cos(φ + ψ) + isin(φ + ψ)]. (1.3)

Отсюда |ab| = rR и argab = φ + ψ и, следовательно,

|ab| = |а||b|, (1.4)

arg ab = arg a + arg b. (1.5)

Из (1.4) и (1.5) следует, что модуль произведения двух комплексных чисел равен произведению модулей сомножителей, а аргумент произведения равен сумме аргументов сомножителей. Очевидно, что это правило легко распространяется на любое конечное число сомножителей. Правило для аргумента произведения следует понимать с точностью до слагаемого, кратного 2π.

Окончательно имеем

(1.6)

Тогда

или

(1.7)

(1.8)

Таким образом, модуль частного двух комплексных чисел равен частному от деления модуля делимого на модуль делителя, а аргумент частного равен разности аргумента делимого и аргумента делителя. Здесь, как для произведения комплексных чисел, правило для аргумента частного следует понимать с точностью до слагаемого, кратного 2π.

Теперь операции умножения и деления хорошо иллюстрируются на комплексной плоскости. Для изображения точки ab (рис. 1.2) необходимо построить луч, выходящий из начала координат и составляющий с положительным направлением действительной оси угол φ + ψ, а затем на этом луче поставить точку, расположенную на расстоянии rR от начала координат. Это и будет точка, изображающая на комплексной плоскости число ab.

Аналогично интерпретируется операция деления комплексных чисел. Для того чтобы построить на комплексной плоскости точку, соответствующую числу a/b, необходимо из начала координат провести луч, составляющий с положительным направлением действительной оси угол φ - ψ, тогда искомая точка будет находиться на этом луче на расстоянии r/R от начала координат.

Операции сложения и вычитания комплексных чисел, записанных в ригонометрической форме, не могут быть представлены формулами аналогичными (1.6)—(1.8), и не имеют подобной интерпретации. Однако нам известно, что эти операции хорошо иллюстрируются, если комплексные числа записаны в алгебраической форме.

Используя тригонометрическую форму записи комплексных чисел, докажем неравенства, которые позволяют сравнить модули суммы и разности двух комплексных чисел с суммой и разностью их модулей.

Пусть а = r(cosφ + isinφ), b = R(cosψ + isinψ). Тогда

a + b = (rcosφ + Rcosψ) + i(rsinφ + Rsinψ).

Если тригонометрическая форма a + b есть a + b = ρ(cosϑ + isinϑ), то

rcosφ + Rcosψ = ρcosϑ,

rsinφ + Rsinψ = ρsinϑ.

Умножим обе части первого равенства на cosϑ, второго — на sinϑ и сложим. В результате получим:

(rcosφcosϑ + Rcosψcosϑ) + (rsinφ sinϑ + Rsinψsinϑ) =

= r(cosφcosϑ + sinφsinϑ) + R(cosψcosϑ + sinψsinϑ) =

ρ(cos²ϑ + sin²ϑ),

или окончательно

rcos(φ - ϑ) + Rcos(ψ - ϑ) = ρ.

Так как cos(φ - ϑ) ≤ 1 и соs(ψ - ϑ) ≤ 1, то r+R ≥ ρ. Отсюда |а + b| ≤ |a| + |b|.

Заметим, что а = (а + b) + (-b) и тогда

|a|=|(a + b) + (-b)|

По доказанному, |а|≤|a + b| + |-b|. Очевидно , |-b| = |b| и поэтому |a|≤|а + b| + |b|. Тогда |a| - |b|≤|a + b| и окончательно имеем

|a| - |b| ≤|a + b| ≤ |a| + |b|. (1.9)

Заменим в неравенствах (1.9) b на —b и получим

|а|-|b| ≤ |а - b| ≤ |а| + |b|. (1.10)

Неравенства (1.9) и (1.10) можно легко получить, рассматривая соответствующие треугольники (см. рис. 1.3).

Если на рис. 1.3 точка А обозначает число а, а точка С - число b, то очевидно, что точка В будет обозначать число а + b. Тогда в треугольнике ОАВ длина стороны ОА равна |a + b|, длина стороны АВ равна |b|, а длина стороны ОВ будет равна |а + b|. Применяя известное свойство треугольника (длина стороны треугольника меньше суммы двух других, но больше их разности), получим неравенства (1.9) . Рассматривая треугольник OАС, получим аналогичную интерпретацию для неравенств (1.10). Поэтому неравенства (1.9) и (1.10) называют неравенствами треугольника.

Заметим, что при сравнении двух действительных чисел а и b сравнивают расстояния соответствующих точек числовой прямой от точки 0 (например, если а > 0 и b > 0, то большим мы считаем то число, чья точка находится на большем расстоянии от точки 0, а при а < 0, b < 0 наоборот). Это вполне объяснимо, так как каждому отрезку данной длины r соответствуют точно два действительных числа r и -r, расстояние от которых до точки 0 равно r. Если же рассматривать на комплексной плоскости все числа, расстояние от которых до точки (0,0) равно данному числу r, то ими будут все точки окружности радиуса r с центром в (0,0), и нет никакого разумного способа сравнения двух различных чисел, чьи точки расположены на этой окружности. По этой причине нельзя ставить знаки < и > между двумя комплексными числами (если, конечно, они оба не являются одновременно числами действительными).

Определение . Пусть дано комплексное число a = α + iβ. Тогда число α - iβ будем называть сопряженным с а и обозначать а. Замена знака на противоположный перед мнимой частью комплексного числа называется операцией сопряжения. Таким образом,

а = α + iβ= α - iβ. (1.11)

Числа а и а сопряжены друг с другом. Очевидно, что если a - действительное число, то а = a. Следовательно, всегда имеется не более двух сопряженных друг другу чисел.

Если a — комплексное число, то точки, соответствующие на комплексной плоскости числам а и а, расположены симметрично относительно оси абсцисс (рис. 1.4).

На рис. 1.4 показано также, что для сопряженных чисел выполняются следующие равенства:

|а| = | а| и arga = - arg а. (1.12) Оба равенства (1.12) получаются непосредственно из определений сопряженного числа, модуля и аргумента комплексного числа.

Отметим еще два свойства сопряженных чисел, которые также следуют из определения: сумма и произведение сопряженных комплексных чисел являются действительными числами. В самом деле,

а + а= (α + iβ) + (α + iβ) = 2а,

аа = (α + iβ)(α - iβ) = α² + β² = |а|.

Для операции сопряжения комплексных чисел выполняются следующие свойства:

a±b = a±b, (1.13)

а·b = а·b, (1.14)

(а/b) = а/b, (1.15)

На самом деле справедливо более общее свойство, которое формулируется следующим образом.

Теорема 1.1. Если число а некоторым образом выражено через комплексные числа b₁,b₂, ...,b_k при помощи сложения, умножения, вы- читания и деления, то, заменяя в этом выражении все числа b_i их сопряженными, мы получим число, сопряженное с а.

Пример 1. Найти модуль и аргумент числа z = 1 + i.

Решение.

|z| = √1² + 1² = √2. Если φ = argz, то tgφ = 1. Поскольку число z находится в первой четверти, то argz = π/4.

Пример 2. Записать число z=l + i√3 в тригонометрической форме.

Решение.

|z|= √1+3= 2; если φ = argz, то tgφ = √3. Тогда argz = π/3. Следовательно, z = 2 (cos(π/3) + isin(π/3)) .

Пример 3. Используя тригонометрическую форму записи, выполнить действия:

Результаты записать в тригонометрической форме.

Решение.